公因數，亦稱“公約數”。它是一個能被若干個整數同時均整除的整數。如果一個整數同時是幾個整數的因數，稱這個整數為它們的“公因數”；公因數中最大的稱為最大公因數。
對任意的若干個正整數，1總是它們的公因數。
基本介紹
中文名：公因數外文名：Common factor性質：科學類別：數學別稱：公約數
釋義,最大公因數,定義,求法,套用,一般題目,計算方法,
釋義給定若干個整數，如果有一個(些)數是它們共同的因數，那么這個(些)數就叫做它們的公因數。而全部公因數中最大的那個，稱為這些整數的最大公因數。公約數與公倍數相反，就是既是A的約數同時也是B的約數的數，12和15的公約數有1，3，最大公約數就是3。再舉個例子，30和40，它們的公約數有1，2，5，10，最大公約數是10。公因數，又稱公約數。在數論的敘述中，如果n和d都是整數，而且存在某個整數c，使得n = cd，就說d是n的一個因數，或說n是d的一個倍數，記作d|n（讀作d整除n）。如果d|a且d|b，我們就稱d是a和b的一個公因數。根據裴蜀定理，對每一對整數a，b，都有一個公因數d，使得d = ax+by，其中x和y是某些整數，並且a和b的每一個公因數都能整除這個d。於是d的絕對值叫做最大公因數。求幾個整數的最大公因數，只要把它們的所有共有的質因數連乘，所得的積就是它們的最大公因數。最大公因數定義如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關係，不能單獨存在。如只能說16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說16是倍數，2是約數。"倍"與"倍數"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的範圍內，相對於"約數"而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數。幾個整數，公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為（12，16）=4。12、15、18的最大公約數是3，記為（12，15，18）=3。幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個自然數，叫做這幾個數的最低公倍數。例如：4的倍數有4、8、12、16，……，6的倍數有6、12、18、24，……，4和6的公倍數有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12。12、15、18的最低公倍數是180。記為[12，15，18]=180。若干個互質數的最低公倍數為它們的乘積的絕對值。求法質因數分解法把幾個數先分別分解質因數，再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最低公倍數。例如：求6和15的最低公倍數。先分解質因數，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數是3，6獨有質因數是2，15獨有的質因數是5，2×3×5=30，30裡面包含6的全部質因數2和3，還包含了15的全部質因數3和5，且30是6和15的公倍數中最小的一個，所以[6，15]=30。短除法短除法：短除法求最大公約數，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質為止，然後把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。短除法的本質就是質因數分解法，只是將質因數分解用短除符號來進行。短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數，然後落下兩個數被公有質因數整除的商，之後再除，以此類推，直到結果互質為止（兩個數互質）。而在用短除計算多個數時，對其中任意兩個數存在的因數都要算出，其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關係。求最大公因數便乘一邊，求最低公倍數便乘一圈。無論是短除法，還是分解質因數法，在質因數較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。輾轉相除法輾轉相除法：輾轉相除法是求兩個自然數的最大公約數的一種方法，也叫歐幾里德算法。這就是輾轉相除法的原理。例如，求（319，377）：∵ 319÷377=0（餘319）∴（319，377）=（377，319）；∵ 377÷319=1（餘58）∴（377，319）=（319，58）；∵ 319÷58=5（餘29）∴ （319，58）=（58，29）；∵ 58÷29=2（餘0）∴ （58，29）= 29；∴ （319，377）=29。可以寫成右邊的格式。用輾轉相除法求幾個數的最大公約數，可以先求出其中任意兩個數的最大公約數，再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數，依次求下去，直到最後一個數為止。最後所得的那個最大公約數，就是所有這些數的最大公約數。套用一般題目試卷上會讓你去求某若干個數的最大公因數。例：12和18的最大公因數12的因數有：±1、±2、±3、±4、±6、±1218的因數有：±1、±2、±3、±6、±9、±1812和18的公因數有：±1、±2、±3、±6，而最大的數是6，最大公因數也就是6了！計算方法1.倍數關係若較大數是較小數的倍數，那么較小數是這兩個數的最大公因數。2.互質關係公因數只有±1的兩個數，叫互質數。例如，5和7是互質數。注：1是任何整數的因數。
題目只會讓你求最大公因數，最小必定是1（0與負數除外）